0 引言

目前氣動薄膜調節閥在航空產品測試臺中的應用十分廣泛，一種常見的應用見圖1所示。

圖1 氣動薄膜調節閥用于氣體壓力控制框圖

然而，實際工程中使用PI算法對這類對象控制時，控制精度不高，其中一個具體的表現是測壓點的壓力容易出現波動。

為解決工程中控制精度不高的問題，應首先建立控制對象的一個合適的模型。

研究了氣動薄膜閥的結構與執行機構工作原理，在給出氣動薄膜閥的結構的基礎上發展了一個動態仿真模型，研究了運動閥芯動態不平衡力，以理想氣體特性為基礎，分別建立了減壓閥充填過程動態數學模型和減壓器工作過程的數學模型。

這些文獻沒有作出關于圖1所示系統的模型，但可作為展開進一步研究的基礎。

為便于對工程問題進行分析與仿真，以獲得線性系統模型為目標展開研究工作。

1 氣動薄膜調節閥控制模型

描述了氣動薄膜調節閥的基本結構及工作原理（見圖2所示），可以將理想狀態下的氣動薄膜調節閥的運動機構看作是質量－彈簧－阻尼系統，給出了它的動態方程：

 （1）

式中：m，k，g是常數，實際上，令，有

 （2）

圖2 氣動薄膜調節閥

進一步考慮式（2）中的摩擦力f，作為動摩擦力可以與式中阻尼項合并。另外，還要考慮系統的靜摩擦力f₀，于是得到垂直安裝時調節閥的運動方程：

 （3）

式中：m＞0：與執行閥桿剛性連接的運動部件總質量，η＞0：運動阻尼系數，k＞0：彈簧的彈性系數，x：閥桿位移，f_s：信號壓力在薄膜上產生的推力，f_t：調節閥所控流體在閥芯上的壓力差產生的不平衡力。

由式（3），令，得到氣動薄膜調節閥模型在時的狀態空間表達式：

 （4）

結論1：時，氣動薄膜調節閥控制模型是能控且能觀的。

證明：令式（4）中系統矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣分別為A，B，C，則

rankM＝2，因此式（4）表達的系統是能控的。

rankN＝2，因此式（4）表達的系統是能觀的。

氣動薄膜調節閥工作時f_t受流體動壓的影響。指出在閥芯作勻速運動、進口流速固定、進出口壓差固定等特定條件下，f_t與閥開度存在著關系，但這些關系是難以用解析式表達的，而且，在更一般的條件下，f_t的變化規律很難掌握。因此，將f_t看做輸入向量中的擾動分量?？蓪⑹剑?）進一步寫為：

 （5）

結論2：當，且將f_t固定為某個值時，氣動薄膜調節閥控制模型是能控且能觀的。

證明：在式（2－4＊）中令f_t＝δ（δ是常數），有

將（f_s－δ）看做控制輸入，使用結論1的證明方法即可得證。

式（4）中y表示調節閥的閥桿位置輸出，它決定調節閥提供給流體的流通面積S，根據不同形狀的閥芯，S與y有不同的函數關系，對于具有某種流量特性的調節閥來說，這個關系是確定的，可以一般性地設為S＝S（y）。

2 管道中流動氣體壓力模型

設圖1中進口壓縮空氣壓力為p₁，出口壓力為p₃，測壓點壓力為p₂，調節閥流通面積為S₁，用氣設備消耗氣體時等效流通面積為S₂，節流嘴流通面積為常數S₀，并給出以下假設：

假設1：圖1系統滿足下列條件：

（1）工作氣體為理想氣體；

（2）氣體比熱比為常數；

（3）各容腔內溫度場和壓力場分布均勻；

（4）氣體的流動為等熵流動；

（5）p₁＞p₂＞p₃總是成立。

在假設1的條件下，得到測壓點壓力動態方程：

 （6）

式中：V＞0：管道容積，K＞1：氣體比熱比，介質是理想氣體時等于絕熱指數，R＞0：氣體常數，C₁，C₂：流量系數，與氣體節流處前后的壓差有關，α₁，α₂：容腔內聲速，與容腔內的氣體溫度有關，g₂₁，g₃₂由關系式表達：

當時，

 （7）

當時，

 （8）

式中：（i，j）=（2，1），（3，2）。

顯然，方程（3-1）是一個非線性系統。

因p_i＜p_j，K＞1，故式（3－2）中g_ij關于單減，于是當時，

 （9）

式中：（i，j）＝（2，1），（3，2）。

設，將式（6）寫成

 （10）

為了避免過于復雜的討論，以工程實際為基礎給出一個假設。

如圖1所示的系統在實際工程中可以通過恰當的部件選擇與調整，使當進口壓縮空氣壓力和氣體消耗穩定，調節閥開度固定在某個位置時，測壓點壓力恒定。于是有：

假設2：至少存在一個（p₁，S₁，S₂）的取值，使方程（3－5）中p₂＞0且＝0。

顯然，若有一組值p'₁，S'₁，S'₂，p'₂使假設2成立，則：

 （11）

是方程（10）的一個靜態解，從而：

（1）可設此時的α₁＝S'₂，β1＝p'₁。此時各容腔的壓力恒定，由C₁，C₂及α₁，α₂含義與特性，故可設此時的C1，C2及α₁，α₂分別為常數β₂，α₂和β₃，α₃。于是，對于式（10），有：

式中：Δα_i，Δβ_i（i＝1，2，3）為對應常參數α_i，β_i（i＝1，2，3）的攝動。

（2）設。當p₁，p₂滿足式（8）條件時，g₂₁＝β‘₄為常數。當p₁，p₂滿足式（7）條件時，

由式（9）可得g₂₁＝β’₄+Δβ‘₄（-β’₄＜Δβ‘₄＜0）。從而，在假設2條件下，總可以找到一個固定的β₄∈（0，β’₄），使此時的g₂₁＝β₄。同理，可找到一個固定的α₄∈（0，α‘₄），使此時的g₃₂＝α₄。于是對于式（10），有：

g₃₂＝α₄＋Δα₄，g₂₁＝β₄＋Δβ₄

式中：Δα₄，Δβ₄是對應常參數α₄，β₄的攝動。

設：

得：

再令p＝p₂，u_s＝S₁，有：

 （12）

這是一個具有不確定性的被控對象，式中Δa、Δb分別是a、b的不確定性。由前面的分析知，a＜0，b＞0。

3 綜合模型討論

由圖1給出的系統結構及式（5）和（12），可以得到：

結論4－1：滿足條件及假設3-1、3-2時，氣動薄膜調節閥控制于氣體壓力可由一組含不確定性的線性系統模型表示：

 （13）

更進一步，討論氣動薄膜閥閥桿位置與流體流通面積為線性關系的情況，即令u（x₁）＝λx₁（λ＞0為常數）。再令p＝x₃，由式（13）可得下面結論。

結論4-2：當滿足條件及假設3-1、3-2，并且氣動薄膜閥閥桿位置與流體流通面積為線性關系時，氣動薄膜調節閥控制氣體壓力時含有不確定性的線性系統模型表示為：

 （14）

式中：y_p表示系統輸出，為圖1測壓點壓力，其余符號同前面討論中的定義。

結論4-3：將f_t固定為某個值且不確定性Δα=Δb=0時，結論4-2給出的系統是控并且是能觀的。

證明：令f_t=δ（是常數），將（f_s-δ）看做控制輸入，此時的系統矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣分別為A，b，c，于是，

顯然rankM＝3，rankN＝3，結論成立。

4 工程中不確定性影響的仿真分析

由于現場組態簡便且參數整定有很多成熟經驗的方法，工程上應用PI控制算法十分普遍。一個實用的問題由此提出：哪一種不確定性對這個閉環系統的影響更大。

通過構造一個采用PI控制算法的仿真實例對這個問題進行分析，控制對象為結論4-2中給出的線性系統模型。

設給定信號為y_ref，k_p，k_i＞0為常數，則控制作用為：

 （15）

令代入式（15），有

 （16）

式中：k_p，k_i分別是PI控制的比例系數與積分系數。再綜合式（7），得：

 （17）

于是，工程中使用PI算法實現氣動薄膜調節閥調節氣體壓力以跟蹤一個給定信號的問題可以描述為：選擇合適的參數k_p，k_i＞0，使式（17）中的輸出y_p跟蹤給定y_ref。討論這個問題時，式（17）可以很方便地使用SIMULINK仿真。

先構造一個忽略不確定性的模型。假設式（17）中：

=3.0，給定信號y_ref為單位階躍函數。

仿照實際工程，對按經驗的方法進行試湊，其中一個仿真結果如圖3所示，此時。

圖3 一個忽略不確定性的仿真結果

保持所有參數不變，使用S函數模擬PI調節過程中出現的不確定性。

首先設，使系統參數出現攝動，得到的仿真如圖4所示。此時雖然yp出現了較大超調，但仍能跟蹤y_ref。

圖4 帶參數攝動的仿真結果

進一步將作用在閥芯上的不平衡力f_t引入仿真。設f_t＝0.2+0.1sint，得到如圖5所示的結果，此時輸出y_p按閥芯擾動的頻率波動。

圖5 帶參數攝動和閥芯擾動的仿真結果

再設Δb＝0，Δα＝0，得到圖6所示的仿真結果，此時輸出y_p仍然按閥芯擾動的頻率波動。

圖6 帶閥芯擾動的仿真結果

由以上仿真可以看出，使y_p無法跟蹤y_ref的主要原因來自閥芯的擾動，而對于只有參數攝動的系統來說，PI控制具有一定的魯棒性。因此，在使用PI控制算法的實際工程中，若要滿足較高的控制精度要求，應在氣動薄膜調節閥上增加閥門定位器附件，以減少不平衡力的影響。

5 結論

氣動薄膜調節閥用于氣體壓力控制這類控制對象是一個典型的非線性滯后系統，以工程實際為基礎給出假設并且恰當引入不確定性，是對這類控制對象進行線性系統建模的關鍵方法。這個方法不但使建模過程簡化，而且得到的模型在討論工程問題時具有實用性。

結論2-1和2-2給出了氣動薄膜調節閥的狀態空間表達式和基本性質，是對這類控制對象建模的基礎，也可以用于其它使用氣動薄膜調節閥的系統的建模與分析。

結論4-1、4-2和4-3給出了氣動薄膜調節閥用于氣體壓力控制這類控制對象使用工程近似化方法得到的線性系統模型與基本性質。通過一個仿真實例表明，這些結論在工程上具有實用意義。